Seall an tùs aig Àireamh

’S e '''àireamh''' a ni mìneachadh air uimhir. Ma tha trì ùbhlan againn, tha am facal ''trì'' ag innse dhuinn na tha againn de dh’ ùbhlan. Nam biodh a cheithir againn, b’ e sin a h-aon air bharrachd air a trì agus b’ e chòig a h-aon air bharrachd air sin. ’S ann às an fheart shìmplidh seo a thàinig an cunntadh. Canar na h-[[àireamhan nàdarra]] ris na h-àireamhan as sìmplidh mar a tha seo, ach tha am bun-bheachd air a bhith a’ leudachadh anns a’ chiad dol-a-mach gus [[bloigh (matamataig)|bloighean]] agus [[àireamhan àicheil is neo-àicheil|àireamhan àicheil]] a thoirt a-steach, agus nuair sin do dh’àireamhan ìomhaigheach agus [[àireamhan co-fhillte]]. ’S a thuilleadh air sin tha àireamhan le seallaidhean nas àirde ann, mar eisimpleir na [[ceithirneanan]] agus na h-[[ochdòineanan]] ged nach eil iadsan cho feumail chionns gu bheil feartan cudromach de dh’[[àireamhachd]] (.i. [[co-iomlaideachd]] agus [[co-thiomsachd]]) air an call.

Tha àireamhan air an sgrìobhadh le figearan. ’S ann bho [[Arabais]] a thàinig cumaidhean nam figearan againne bho thùs agus ’s e [[figearan Arabach]] a chanar riutha airson eadar-dhealachadh a dhèanamh bho [[figearan Ròmanach|fhigearan Ròmanach]]. Ach tha e cumanta ''àireamh'' a ràdh an àite ''figeir'' agus tha na briathran ''àireamhan Arabach'' agus ''àireamhan Ròmanach'' cumanta. Tha e cudromach eadar-sgaradh a dhèanamh nar n-inntinn eadar ''àireamh'' mar fhigear agus ''àireamh'' mar uimhir. 

Nar cainnt làitheil, tha àireamhan air an cur gu feum cuideachd airson ainm a thoirt do rudan far a bheil tòrr mòr dhiubh a tha coltach ri chèile (me. àireamhan thaighean air sràid, àireamhan fòn, àireamhan cataloig). Tha seo a’ cur òrdugh nan àireamh ris na rudan sin ged nach fhaod an t-òrdugh a bhith follaiseach no iomlan no fiù ’s an dùil. Mas e an rùn an t-òrdugh a dhèanamh soilleir, tha riochd sònraichte aig àireamhan (1<sup>d</sup>, 2<sup>ra</sup>, 3<sup>mh</sup>, ..., msaa.) aig a bheil na h-'''àireamhan òrdail'''. ’S e na h-'''àireamhan àrdail''' an riochd roimhe (.i. 1, 2, 3, ..., msaa.).


== Ainmean àireamhan ==
Tha dà shiostam ann airson àireamhan a dh’ ainmeachadh – an siostam traidiseanta agus an siostam deicheach. Anns an t-siostam thraidiseanta thathar a’ cunntadh le ficheadan (me. trì fichead ’s a deich, ceithir fichead taigh ’s a còig, seachd pileachan ar fhichead, agus mar sin air adhart). Anns an t-siostam dheicheach tha facal air leth do gach iomad a deich (fichead, trithead, ceathrad, caogad, seasgad, seachdad, ochdad, naochad). ’S e seo an siostam a thathar a-nis a’ teagasg anns na sgoiltean.

Chan eil diofar eadar an dà shiostam leis na h-àireamhan gu fichead, ach bho seo a-mach cumaidh an siostam deicheach an àireamh àrdail le chèile (me. ''fichead ’s a h-aon'' bà, ''trithead ’s a dhà'' bà, ''ceathrad ’s a trì'' bà). Mar a bhite an dùil, ’s e ainmear singilte a leanas na h-iomadan a deich. Ann an suidheachadh matamataigeach, ge-tà, tha a h-uile àireamh air a cumail ri chèile, agus leughar 15''x'' mar ''chòig-deug'' ''x''.


== Àireamhan nàdarra ==
’S e na h-''[[àireamhan nàdarra]]'' na h-àireamhan as bunasaich. Is iadsan na h-àireamhan 1, 2, 3, ... agus mar sin air adhart, ged tha feadhainn uaireannan a’ cur neoni riutha cuideachd. Tha na h-àireamhan seo an dara cuid '''''cothroim''''' (2, 4, 6, ... ) no '''''còrr''''' (1, 3, 5, ... ). Tha iad uile '''''dearbh'''''. Faodaidh a’ mhòr chuid a bhith air am factaradh mar toradh àireamhan nas lugha. Mar eisimpleir:
::12 = 3 × 4
::816 = 17 × 16 × 3

Ach tha cuid ann nach bi (me. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... ). Canar riuthasan a ''[[prìomh-àireamhan]]'' agus a-mach air a dhà, tha iad uile còrr. Tha am feart aig gach àireamh nàdarra gum faod i bhith air am factaradh mar thoradh phrìomh-àireamhan:
::12 = 2 × 2 × 3
::816 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 17

agus chan eil ann ach aon fhactaradh den t-seòrsa seo. ’S e seo [[Teòiridh Bhunaiteach na h-Àireamhachd]]. 

’S e '''N''' a th’ ann mar chomharra air [[seata]] nan àireamhan '''''n'''''àdarra. Faodar a sgrìobhadh '''N<sup>0</sup>''', gu bhith soilleir gu bheil neoni anns an t-seata, agus '''N<sup>+</sup>''' gu bhith soilleir nach eil.

== Slàn-àireamhan ==
Tha na ''[[slàn-àireamhan]]'' a’ toirt a-steach na h-àireamhan nàdarra, neoni, agus na h-àireamhan slàn [[àireamhan àicheil is neo-àicheil|àicheil]]. Is '''''àicheil''''' gach àireamh a tha nas lugha na neoni, agus '''''dearbh''''' gach àireamh a tha nas mò na neoni. Tha àireamh àicheil air a sgrìobhadh leis a’ chomharra “−” mar roi-leasachadh oirre. Mar eisimpleir, ’s e àireamh dhearbh a th’ anns 5 agus àireamh àicheil a th’ anns −5. Anns an t-seagh seo, ’s e obrachadh a tha ann an “−” a dh’atharraicheas àireamh dhearbh gu bhith àicheil. 

Ma chuirear àireamh dhearbh ri àireimh [[àireamhan àicheil is neo-àicheil|àicheil]] den aon mheud, ’s e neoni a’ bhuil:
::''x'' + (−''x'') = 0
Nise, ma bheirear −''x'' air falbh bho gach taobh:
::{|-
|''x'' + (−''x'') − ( −''x'' ) ||= 0 − ( −''x'' )
|-
|''x'' ||= −( −''x'' )
|}
Agus tha e soilleir gur e àireamh dhearbh a th’ ann an àireamh àicheil àicheil agus ’s e obrachadh iom-thionndaidh a th’ anns an obrachadh “−”.

’S e '''Z''' (Gearmailtis: ''Zahlen'') an comharra air seata nan slàn-àireamhan.


== Àireamhan coimeasta ==
Ma faodar àireamh sgrìobhadh mar cho-mheas dà shlàn-àireimh (.i. mar [[bloigh (matamataig)|bhloigh]] chumanta), ’s e '''àireamh choimeasta''' a th’ innte. Tha na [[slàn-àireamhan]] uile nan [[àireamhan coimeasta]] oir faodar am sgrìobhadh an riochd bloigh leis an t-seòrsaiche 1: 
::{|-
|<math>2 = \tfrac{2}{1}</math>,|| ||<math>3 = \tfrac{3}{1}</math>,|| ||<math>-4 = \tfrac{-4}{1}</math>.
|}	
Tha bloighean ann nach eil nan slàn-àireamhan:
::{|-
|<math>\tfrac{1}{2}</math>,|| ||<math>-\tfrac{3}{5}</math>,|| ||<math>\tfrac{22}{7}</math>.
|}
’S urrainnear àireamh choimeasta a’ sgrìobhadh le iomadh bloigh no le comharrachadh deicheach:
::<math>\tfrac{25}{8}=\tfrac{50}{16}=\tfrac{175}{56}=3.125</math>
Biodh ''b'' agus ''c'' nan àireamhan coimeasta, agus biodh
::<math>c=\tfrac{1}{b}</math>

Canaidh sinn gur ''co-thionndadh'' ''b'' a tha ann an ''c''. Tha e soilleir gu bheil: 
::<math>a \times c = a \times \tfrac{1}{b} = \tfrac{a}{b} = a \div b </math>
agus tha iomadachadh agus roinneadh an aon rud air na h-àireamhan coimeasta.
’S e '''Q''' (Beurla: ''Quotient'') an t-ainm aig seata nan àireamhan coimeasta, agus ’s e for-sheata '''Z''' a th’ ann. Anns a’ chànan fhoirmeil:
::<math>Q = \{ \tfrac{m}{n} : m, n \in Z, n \neq 0 \}</math>
agus tha e soilleir gu bheil '''N''' ⊂ '''Z''' ⊂ '''Q'''.


== Fìor-àireamhan ==
Tha àireamhan ann nach eil coimeasta. ’S docha gu bheil ''π'' (pì) an tè as ainmeil. ’S e seo co-mheas a’ chearcall-thomhais le trasd-thomhas a’ chearcaill, ach chan eil ann dà shlàn-àireamh ''m'' agus ''n'' far a bheil:
::<math> \pi = \tfrac{m}{n} </math>
Tha àireamhan coimeasta ann (.i. co-mheas shlàn-àireamhan) a tha nan tuairmse mhath oirre. Mar eisimpleir,
{|-
|tha||<math>\tfrac{22}{7}</math>||mu thuaiream||0.04% ro àrd,
|-|-
|| ||<math>\tfrac{355}{113}</math>|| ||0.000008% ro àrd,
|-|-
|| ||<math>\tfrac{104348}{33215}</math>|| ||0.00000001% ro àrd, agus
|-|-
|| ||<math>\tfrac{833719}{265382}</math>|| ||0.0000000003% ro iosal. 
|}

’S urrainn dhuinn tuairmse fhaighinn as eagnaidh as bu toigh leinn ach chan eil co-mheas ann a tha ceart-cho-ionann ri ''π''. Agus tha eisimpleirean eile ann. Canar '''[[àireamhan eucoimeasta]]''' ri àireamhan den t-seòrsa.

Canar na '''[[fìor-àireamhan]]''' ri seata nan àireamhan uile seo – ris an t-seata a tha a’ toirt a-steach na h-àireamhan coimeasta agus na h-àireamhan eucoimeasta. ’S e '''R''' (Beurla: ''Real'') a th’ ann mar chomharra air an t-seata seo. 
’S urrainn do na fìor-àireamhan a bhith air an riochdachadh mar loidhne (’s e '''loidhne àireamh''' a chanar rithe). Air an loidhne seo, tha neoni sa mheadhan, na h-àireamhan dearbh gu deas agus na h-àireamhan àicheil gu clì. Tha an loidhne a’ ruith gu neo-chrìochnachd air gach taobh. ’S urrainn do gach fìor-àireamh a bhith air an riochdachadh mar phuing air an loidhne seo.
[[Faidhle:loidhne aireamh.png]]


== Àireamhan co-fhillte ==
Thàinig seòrsa ùr de dh’àireamhan bhon cheist a bheil freumh ceàrnagach aig àireamh [[àireamhan àicheil is neo-àicheil|àicheil]]. Tha ceàrnag aig gach fìor-àireamh (dhearbh no àicheil) ach tha na ceàrnagan uile dearbh:
::{|-
|5<sup>2</sup> = 5 × 5 = 25;|| || || ||−5<sup>2</sup> = −5 × −5 = 25
|}
Chan eil fìor-àireamh ann a dhèanadh àireamh [[àireamhan àicheil is neo-àicheil|àicheil]] nam biodh i air a h-iomadachadh leatha fhèin. Mar sin, canar '''àireamh ìomhaigheach''' ri àireamh den t-seòrsa a ni àireamh àicheil nuair a tha i air a h-iomadachadh leatha fhèin. Tha comharra sònraichte aig √(-1) agus ’s e '''''i''''' a th’ ann.
À seo:
::√(−4) = √{(−1) × 4} = √−1 √4 = '''''i''''' 2
Mar a b’ urrainn dhuinn na fìor-àireamhan sgrìobhadh mar 2 × 1, -3.14159 × 1, ''π'' × 1, ’s mar sin air adhart, tha na h-àireamhan ìomhaigheach air an sgrìobhadh 2 × '''''i''''', -3.14159 × '''''i''''', ''π'' × '''''i''''', no mar as cumanta: 2'''''i''''', -3.14159'''''i''''', ''π'' '''''i'''''. 

’S e '''I''' an t-ainm a tha ann air seata nan àireamhan ìomhaigheach agus anns a’ chànan [[siostam foirmeil|fhoirmeil]]:
::'''I'''= { ''a'' '''''i''''' : ''a'' ∈ '''R''', '''''i''''' = √−1 } 
Tha àireamh ìomhaigheach mu choinneamh gach fìor-àireamh. Mas urrainnear na fìor-àireamhan riochdachadh mar loidhne àireamh, ’s ann as urrainnear na h-àireamhan ìomhaigheach, ach feumaidh loidhne àireamh ìomhaigheach a bhith tur eadar-dhealaichte. Ged thà, tha e soilleir gu bheil:
::0'''''i''''' = 0 × '''''i''''' = 0
’S e an aon rud “neoni ìomhaigheach” agus “fìor-neoni”. ’S ann a leanas gu bheil loidhne nan àireamhan ìomhaigheach a’ trasnadh loidhne nam fìor-àireamhan aig neoni. Thèid a riochdachadh mar dhiagram mar tha seo. Canar [[Argand-diagram]] ri diagram den t-seòrsa seo. 
[[Faidhle:Argand-diagram.png]]

’S e fìor-àireamh gach puing air an loidhne '''R'''. Chan eil pàirt ìomhaigheach aig fìor-àireamh – tha an loidhne '''R''' tro 0'''''i'''''. Anns an aon dòigh, chan eil pàirt fìor aig àireimh ìomhaighich (puing air loidhne '''I'''). Ach tha e soilleir gu bheil puingean air an diagram, mar eisimpleir ''P'' aig a bheil pàirtean fìor agus ìomhaigheach. Sgrìobhar:
::''P'' = 3 + 2'''''i'''''
agus canar ''' [[àireamhan co-fhillte|àireamh cho-fhillte]]''' rithe oir ’s e filleadh fìor-àireamh agus àireamh ìomhaigheach a tha innte. Ged tha bun-bheachd nan àireamhan co-fhillte gu math easchruthach, tha na h-àireamhan seo air leth feumail ann am [[fiosaig]] ’s ann an [[innleadaireachd]]. 

’S e '''C''' an comharra air seata nan àireamhan co-fhillte. Anns a’ chànan [[siostam foirmeil|fhoirmeil]]:
::'''C''' = { ''a'' + '''''i''''' ''b'' : ''a'', ''b'' ∈ '''R''', '''''i''''' = √−1 }
’S e na fìor-àireamhan am fo-sheata far a bheil ''b'' = 0. ’S mar sin tha:
::'''N''' ⊂ '''Z''' ⊂ '''Q''' ⊂ '''R''' ⊂ '''C'''
’S ann ''dùinte'' a tha obrachadh [[àireamhachd]] far a bheil buil an obrachaidh den aon seata. Mar eisimpleir tha cur-ris dùinte leis na h-àireamhan nàdarra oir ’s e àireamh nàdarra a tha ann an ''c'' far a bheil ''c'' = ''a'' + ''b'' ge b’ e air bith dè luach a tha air ''a'' agus ''b'' ach gum biodh iad nan àireamhan nàdarra. Ach chan eil toirt air falbh dùinte. ’S e àireamhan nàdarra a tha anns 5 agus 7 ach chan e àireamh nàdarra a tha anns an 5 − 7 ( = −2 ). Chan eil ach cur-ris agus iomadachadh dùinte leis na h-àireamhan nàdarra. Tha toirt air falbh dùinte cuideachd leis na slàn-àireamhan, agus roinneadh leis na h-àireamhan coimeasta agus na fìor-àireamhan. Ach tha na h-obrachaidhean àireamhachd uile dùinte (togail gu cumhachd nam measg) leis na h-àireamhan co-fhillte.

{{DEFAULTSORT:Aireamh}}
{{Smachd ùghdarrais}}
[[Roinn-seòrsa:Àireamhachd]]