Iomadachadh

'S e iomadachadh an t-obrachadh àireamhachd a tha a' toirt dhuinn na h-uiread de rud sam bith den aon t-seòrsa. Mas e àireamh a th' ann an rud seo (m.e. 2) agus tha trì uiread dhith:

$2+2+2=6$

tha seo air a sgrìobhadh gu cumanta:

$3\times 2=6$.

Canar factaran ris na h-àireamhan a tha air an iomadachadh (3 agus 2) agus an toradh ri buil an iomadachaidh (6). 'S urrainnear ainmean àraidh a thoirt don dà fhactar fa leth – an iomarann agus an t-iomadair – ach chionns gu bheil 3 × 2 = 2 × 3 chan eil e gu diofar cò aca tha na iomarann no na iomadair.

'S e roinneadh an t-obrachadh mùiteach ri iomadachadh.

Comharradh iomadachaidh

Far a bheil àireamhan le figearan, tha iomadachadh air a sgrìobhadh le crasgan claon (×), ach ann an ailseabra tha e ro fhurasta an comharra seo agus an litir x a mheasgachadh suas. Thathar a' cleachdadh puing togte (∙) eadar na caochladairean a thèid an iomadachadh ri linn, no chan eilear a' cleachdadh comharra sam bith:

$x\cdot y=xy=x\times y$

Chan urrainnear puing thogte a chleachdadh le figearan, oir thèid a leughadh mar phuing dheicheach, agus chan e a chòig uiread a trì ach caogad 's a trì a th' ann an 53.

Anns na h-àrd-chànanan coimpiutaireachd, thèid an reul (*) a chleachdadh. B' e sin an comharra iomadachaidh aig FORTRAN, a' chiad àrd-chànan prògramaidh.

Iomadachadh le àireamhan nàdarra

Gabhar m uiread n a sgrìobhadh :

$m\times n=\sum _{k=1}^{m}n=n+n+\cdots +n$ (m dhiubh)

agus san dòigh seo 's e geàrr-sgrìobhadh cur-ris uiread na h-aon àireimh a th' ann an iomadachadh.

$2\times 5=5+5$

$5\times 2=2+2+2+2+2$

$3\times m=m+m+m$

Mar a tha cur-ris co-iomlaideach agus co-thiomsach, 's ann a tha iomadachadh.

$xy=yx$

$(xy)z=x(yz)$

Agus tha trìtheamh feart cudromach ann. Tha iomadachadh sgaoileach air an obrachadh cuir-ris. Tha seo a' ciallachadh gu bheil:

$x(y+z)=xy+xz$

Uaireannan, 's e Lagh an Sgaoilidh a chanar ri seo.

Tha feart àraidh aig àireamh a h-aon. 'S e an aon rud, rud sam bith a th' air iomadachadh leis a h-aon.

$1\times m=m$

$m\times 1=1+1+\cdots +1=m$

Tha briathar sònraichte air àireamh leis an fheart seo ann an ailseabra. Canar eileamaid ionnanachd ris.

Neoni agus na h-àireamhan àicheil

'S e neoni àireamh sam bith a th' air iomadachadh le neoni.

$5\times 0=0+0+0+0+0=0$

Agus san aon dòigh, ma tha neoni uiread rud sam bith, chan eil dad ann.

Tha e furasta thuigsinn gu bheil:

$5\times -1=-1+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-5$

ach dè as ciall do -1 × 5? Faodaidh sinn am feart co-iomlaideach a chleachdadh, ma tha sinn cinnteach gu bheil iomadachadh co-iomlaideach le àireamhan àicheil, ach bhiodh e nas fheàrr a dh' fhuasgladh le taic Lagh an Sgaoilidh mar a leanas:

$-1\times 5=(3-4)\times 5=(3\times 5)-(4\times 5)=15-20=-5$

Tha e soilleir cuideachd gu bheil:

$(-1)x=-x=x(-1)$

Agus ma tha an dà fhactar àicheil:

$(-x)(-y)=(-1)x(-1)y=(-1)(-1)xy=-(-1)xy=xy$

chionns gur e 1 a th' ann an -(-1). Gus seo a dhearbhadh, smaoinich gu bheil:

$x-x=0$

agus ma tha x = -1, gabhar a sgrìobhadh

$-1-(-1)=0$

agus ma chuirear a h-aon ri gach taobh:

$-(-1)=1$

Bloighean

Tha e furasta thuigsinn ciamar a dh' iomadaicheas bloigh le àireimh shlàin:

$\begin{array}{ccc}0\times \frac{1}{7}& =& 0\\ 1\times \frac{1}{7}& =& \frac{1}{7}\\ 5\times \frac{1}{7}& =& \frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{5}{7}\\ -3\times \frac{1}{7}& =& -\frac{3}{7}\end{array}$

Agus san aon dòigh:

$\frac{1}{7}\times 5=\frac{1}{7}(1+1+1+1+1)=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{5}{7}$

Ma tha dà bhloigh ann:

$\begin{array}{ccc}\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}& =& \frac{1}{b}\times a\times c\times \frac{1}{d}\\ & =& \frac{1}{b}\times ac\times \frac{1}{d}=\frac{1}{b}\times \frac{ac}{d}\\ & =& \frac{1}{b}\times \frac{bac}{bd}=\frac{1}{b}\times b\times \frac{ac}{bd}\\ & =& \frac{ac}{bd}\end{array}$

Tha na h-àireamhaichean air an iomadachadh le chèile agus na seòrsaichean air an iomadachadh le chèile agus sin an riaghailt airson dà bhloighe iomadachadh.

Cumhachdan

Far a bheil àireamh air iomadachadh le fhèin thathar ag ràdh gu bheil an àireamh togte ri cumhachd. 'S e uiread an iomadachaidh a th' anns a' chumhachd agus tha seo air a sgrìobhadh mar fhor-sgriobta air an àireimh. Mar eisimpleir:

$x^5=x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x{x}^3=x\cdot x\cdot x$

Tha e soilleir gu bheil:

$x^5\cdot x^3=(x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x)\cdot (x\cdot x\cdot x)=x^8$

agus sa choitcheannas:

$x^m\cdot x^n=x^{m+n}$

Tha seo fìor an ann àicheil m no n no nach ann.

Àireamhan deicheach

Gus àireamhan deicheach iomadachadh, 's urrainnear an atharrachadh do shlàn-àireamhan air an iomadachadh le deich air a thogail chun cumhachd. Nuair sin, thèid na slàn-àireamhan an iomadachadh agus na cumhachdan de dheich an iomadachadh fa leth. Mar eisimpleir:

$\begin{array}{ccc}3.25\times 6.173& =& 325\times 10^{-2}\times 6173\times 10^{-3}\\ & =& 2006225\times 10^{-5}\\ & =& 20.06225\end{array}$

No 's urrainnear an làimhseachadh mar bhloighean cumanta:

$3.25\times 6.173=\frac{325}{100}\times \frac{6173}{1000}=\frac{2006225}{100000}=20.06225$

Àireamhan co-fhillte

Gus àireamhan co-fhillte iomadachadh, 's urrainnear feum a dhèanamh de Lagh an Sgaoilidh.

$\begin{array}{ccc}(a+ib)(c+id)& =& a(c+id)+ib(c+id)\\ & =& (ac-bd)+i(ad+bc)\end{array}$

Tha e furasta dhearbhadh gur ann co-thiomsach co-iomlaideach a tha iomadachadh àireamhan co-fhillte. Agus gu bheil e sgaoileach thar cur-ris.

Tha e nas fhasa àireamhan co-fhillte iomadachadh far a bheil iad nan riochd pòlarach.

$a{e}^{i\alpha }\cdot b{e}^{i\beta }=ab\cdot e^{i(\alpha +\beta )}$

Comharradh Π

'S urrainnear toradh sreath teirmean a sgrìobhadh leis a' chomharra-thoraidh Π (an litir mòr "pi" bhon aibidil Ghreugais).

$\prod _{i=m}^n{x}_i=x_m{x}_{m+1}{x}_{m+2}\cdots x_{n-1}{x}_n$

'S e caochladair brèige a th' ann an i agus e a' gabhail gach luach bho m gu n. Faodaidh sreath den t-seòrsa a' sìneadh gu eicrioch, ged nach biodh seagh aice mur eil toradh a' chiad n teirmean ag aomadh gu luach crìochach mar a dh' fhàsas n gun crìoch. 'S e sin:

$\prod _{i=m}^{\mathrm{\infty }}{x}_i:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{i=m}^n{x}_i$

Tha an comharra $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ (bhon Bheurla limit) a' ciallachadh luach teòr an toraidh mar a thèid tuilleadh theirmean an cur ris an t-sreath-iomadachaidh.